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단일 연산자 초등함수 생성

eml(x,y) = exp(x) - ln(y)와 상수 1로 실수 초등함수를 구성하는 Odrzywołek의 결과를 정리합니다.

이종관2026년 4월 17일

상수 1과 이진 연산자 하나만으로 과학용 계산기 전체를 재구성할 수 있습니다.

디지털 논리가 가진 한 가지 사치

부울 회로에서는 NAND 게이트 하나로 AND, OR, NOT, XOR을 포함한 모든 논리 함수를 만들 수 있습니다. 한 연산자가 체계 전체를 생성하는 성질을 쉐퍼 성질(Sheffer property)이라 부릅니다.

이 성질을 가진 연산자는 쉐퍼 연산자(Sheffer operator)입니다. 디지털 하드웨어는 이를 이용해 여러 기능을 균일한 게이트 배열로 구현합니다.

연속수학에는 이에 대응하는 원시 연산이 오래도록 알려지지 않았습니다. 과학용 계산기는 지수, 로그, 삼각함수, 제곱근을 서로 다른 규칙으로 구현합니다.

이 함수들은 $\sin x = \cos(x - \pi/2)$ 나 $\sqrt{x} = x^{1/2}$ 처럼 서로 환원됩니다. 오일러 공식을 이용하면 삼각함수도 지수와 로그로 나타낼 수 있지만, 최소 생성 기저는 체계적으로 정리되지 않았습니다.

Andrzej Odrzywołek는 2026년 논문에서 최소 생성 기저를 제시합니다. 논문 제목은 "All elementary functions from a single binary operator"입니다. 단일 이진 연산자와 상수로 실수 초등함수를 구성하는 증명입니다(arXiv:2603.21852).

EML 연산자의 정의

EML은 Exp-Minus-Log의 약자이며, 다음과 같이 정의됩니다.

\mathrm{eml}(x, y) = \exp(x) - \ln(y)

생성 기저에는 이 연산자 외에 상수 1 하나만 포함됩니다. 상수 1이 필요한 이유는 로그 항을 중화하기 위해서입니다. $\ln 1 = 0$ 이라는 성질 덕분에 두 번째 인자를 1로 고정하면 EML은 지수 함수로 축퇴합니다.

\mathrm{eml}(x, 1) = \exp(x) - \ln 1 = e^x

즉 $e^x$ 는 EML 트리의 깊이 1 표현으로 얻어집니다. 계산은 복소수 영역에서 수행됩니다. $\pi$ 나 $i$ 같은 상수가 표현 도중에 등장하기 때문입니다.

예를 들어 $i$ 는 $\ln(-1)$ 이 복소 주분지(principal branch)에서 $i\pi$ 로 평가된다는 점을 이용해 EML 트리로 끌어낼 수 있습니다.

정의만으로 EML이 쉐퍼 연산자인지 바로 알 수는 없습니다. Odrzywołek는 후보 연산자를 체계적으로 나열하는 탐색 절차를 설계했습니다. 각 후보로 초등함수 목록(표 1의 36개 항목)을 반복해서 재구성할 수 있는지 확인합니다. EML은 이 절차에서 처음 성공한 사례입니다.

어떻게 모든 초등함수가 복원되는가

탐색 알고리즘은 부트스트랩(bootstrapping) 방식입니다. 검증된 기저 $S_i$ 에서 출발해, 기저만으로 표현 가능한 원소를 목표 목록 $C_i$ 에서 꺼내 $S_{i+1}$ 로 옮깁니다. $C_i$ 가 비면 증명이 완성됩니다.

초기 기저 $S_0 = \{1, \mathrm{eml}\}$ , 목표 목록 $C_0 = \{\pi, e, i, -1, \ldots, \exp, \ln, +, -, \times, \ldots\}$ .
현재 기저로 표현 가능한 첫 원소 $e = \mathrm{eml}(1, 1)$ 을 찾아 기저로 이동.
새로 확장된 기저로 다음 원소(예: $\pi$ , $i$ )를 표현. 이 과정을 $C_i = \emptyset$ 이 될 때까지 반복.

이 절차에서 발견된 대표 식은 다음과 같습니다.

목표	EML 표현	깊이
$e$	$\mathrm{eml}(1, 1)$	1
$e^x$	$\mathrm{eml}(x, 1)$	1
$\ln z$	$\mathrm{eml}(1, \mathrm{eml}(\mathrm{eml}(1, z), 1))$	3

로그 식의 내부 구조를 풀면 가장 안쪽은 $\mathrm{eml}(1, z) = e - \ln z$ 입니다. 그 바깥 적용이 $e^{e - \ln z}$ 를 만들고, 마지막 레이어가 $e - \ln(\cdot)$ 을 씌워 $\ln z$ 를 분리합니다.

로그 하나를 얻으려면 EML을 세 번 중첩해야 합니다. EML의 식에는 지수와 로그가 함께 있으므로, 한쪽 항을 상쇄해 다른 항만 남기는 구조가 필요합니다.

사칙연산은 같은 원리로 환원됩니다. 두 지수 법칙과 그 역을 결합하면 곱셈과 덧셈이 자연스럽게 나옵니다.

x \times y = e^{\ln x + \ln y}, \qquad x + y = \ln(e^x \cdot e^y)

각 식은 다시 EML 트리로 표현할 수 있습니다. 논문의 직접 탐색에서 찾은 가장 짧은 곱셈 표현은 깊이 8입니다. 대부분의 기본 함수에서 찾은 표현은 더 깊었습니다. 표현은 길지만 구조는 균일합니다.

노드가 전부 동일하고 상수와 변수만 잎(leaf)으로 들어갑니다.

문법과 구조

EML 표현의 문법은 다음 한 줄로 끝납니다.

S \to \mathrm{eml}(S, S) \mid 1 \mid x

이 문법은 완전 이진 트리와 일대일 대응됩니다. 깊이 $n$ 의 완전 이진 트리는 $2^n$ 개의 잎과 $2^n - 1$ 개의 내부 노드를 가지고, 이런 트리의 개수는 카탈랑 수(Catalan number)로 셀 수 있습니다. 초등함수를 탐색한다는 문제가 카탈랑 구조 위의 탐색 문제로 환원된다는 뜻입니다.

이 구조적 균일성은 하드웨어에서 NAND 배열이 갖는 장점과 같습니다. 노드의 종류가 하나뿐이므로 파서, 컴파일러, 최적화기, 시각화 도구가 모두 단순해집니다. 아래와 같은 트리가 $\ln x$ 에 대응합니다.

flowchart TD
    R["eml"] --> ONE["1"]
    R --> E1["eml"]
    E1 --> E2["eml"]
    E1 --> ONE2["1"]
    E2 --> ONE3["1"]
    E2 --> X["x"]

같은 방식으로 $-x$ , $x - 1$ , $x \cdot y$ 등이 상이한 깊이와 형태의 동일 노드 트리로 표현됩니다.

기호 회귀로의 응용

단일 연산자 표현의 실질적 이득은 기호 회귀(symbolic regression, SR)에서 드러납니다. 기호 회귀는 수치 데이터에서 닫힌 형태의 수식을 찾습니다. 기존 도구는 여러 연산자를 조합하므로 선택 집합이 불완전하면 정답 수식을 표현하지 못할 수 있습니다.

EML 트리는 이 문제를 우회합니다. 깊이 $n$ 의 매개변수화된 완전 이진 EML 트리는 그 깊이 이하의 모든 초등함수를 표현 가능하도록 설계 단계에서 완전합니다. 각 잎은 다음 세 후보 중 하나로 파라미터화됩니다.

상수: $\alpha_i$
입력 변수 스케일: $\beta_i x$
하위 EML 식: $\gamma_i \cdot \mathrm{eml}(\cdot, \cdot)$

예를 들어 깊이 2의 일변수 마스터 공식은 다음과 같은 모습이 됩니다.

text

F(x) = eml(
  α1 + β1·x + γ1·eml(α3 + β3·x, α4 + β4·x),
  α2 + β2·x + γ2·eml(α5 + β5·x, α6 + β6·x)
)

이 공식의 자유 매개변수는 14개입니다. $\alpha_1 = 0, \beta_1 = 1, \gamma_1 = 0, \alpha_2 = 1$ , 나머지를 0으로 두면 $\exp(x)$ 가 얻어집니다. $\alpha_1 = \alpha_2 = 1$ , 나머지 0이면 상수 $e$ 가 나옵니다.

매개변수를 심플렉스로 재파라미터화하거나 softmax로 처리하면 표준 경사 기반 최적화기(Adam 등)로 학습할 수 있습니다. Softmax는 로짓을 확률 분포로 정규화하는 함수입니다.

Odrzywołek는 $\ln x$ 로 생성한 수치 데이터를 깊이 3 이진 트리로 적합한 실험을 제시합니다. 심플렉스 재파라미터화로 자유도를 34에서 20으로 줄인 뒤, 가중치를 0 또는 1로 스냅하니 **정확히 $\ln x$ **가 복원되었습니다. 적합 범위 밖으로도 외삽이 거의 완벽했습니다.

함수 생성법칙이 초등함수라면, EML 트리는 근사식뿐 아니라 닫힌 형태의 수식 자체를 구할 수 있습니다.

다른 EML 계열 연산자

EML 외에도 연속 쉐퍼 연산자가 있습니다. 논문은 두 가지 변형을 제시합니다.

$\mathrm{edl}(x, y) = \exp(x) / \ln(y)$ , 필요한 상수는 $e$ .
$\mathrm{eml}(y, x) = \ln(x) - \exp(y)$ , 인자 순서를 바꾼 변형. 필요한 상수는 $-\infty$ .

삼항 연산자 $T(x, y, z) = e^x / \ln x \times \ln z / e^y$ 도 후보입니다. $T(x, x, x) = 1$ 이므로 별도 상수가 필요하지 않습니다. 저자는 이 방향을 후속 논문에서 다룬다고 예고했습니다.

EML 계열은 NAND와 달리 입력과 무관한 상수를 만들 수 없습니다. NAND는 단독으로 0과 1을 생성하지만 EML은 1이나 $e$ 같은 상수를 터미널로 받아야 합니다.

상수 없이 작동하는 연속 이진 쉐퍼가 존재하는지는 열린 문제로 남아 있습니다.

$B(x, y) = (x - y)/2$ 는 $B(x, x) = x$ 를 만족하지만 $B(B(x, x), x) = 0$ 이 되어 정보를 잃습니다. 이 사례는 필요조건 하나만으로 생성 능력을 판단할 수 없음을 보여줍니다.

참고 문헌

Andrzej Odrzywołek, All elementary functions from a single binary operator, arXiv:2603.21852 [cs.SC], 2026-03-23 제출, v2는 2026-04-04 개정입니다. 논문
Andrzej Odrzywołek, A ternary Sheffer operator for elementary functions?, Acta Physica Polonica B, 2026년 준비 중인 후속 연구입니다.

정리

EML은 연속수학에서 단일 원시 연산자를 구체화한 구성적 결과입니다. $\exp(x) - \ln(y)$ 와 상수 1은 사칙연산, 초월·대수함수, 필요한 상수를 생성합니다. 표현은 길어지지만 모든 식을 같은 노드의 이진 트리로 나타낼 수 있습니다.

균일한 구조는 기호 회귀에도 도움이 됩니다. 완전한 매개변수화 트리를 경사 기반 최적화로 학습하면 "연산자 집합 선택"의 불완전성을 피할 수 있습니다. 초등함수를 생성하는 문제와 데이터에서 초등함수를 역추정하는 문제를 같은 카탈랑 구조의 탐색으로 다룰 수 있습니다.

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