단일 연산자로 모든 초등함수 생성하기 — EML

상수 1과 이진 연산자 하나만으로 과학용 계산기 전체를 재구성할 수 있다.

디지털 논리가 가진 한 가지 사치

부울 회로에는 잘 알려진 사실이 있다. NAND 게이트 하나면 AND, OR, NOT, XOR을 포함한 모든 논리 함수를 만들 수 있다. 이렇게 한 연산자만으로 체계 전체를 생성할 수 있는 성질을 쉐퍼 성질(Sheffer property)이라 부르고, 그런 연산자를 쉐퍼 연산자(Sheffer operator)라 한다. 디지털 하드웨어가 수많은 기능을 균일한 게이트 배열로 구현할 수 있는 근거가 바로 이 성질이다.

연속수학에는 그에 준하는 원시 연산이 오래도록 알려져 있지 않았다. 과학용 계산기는 지수, 로그, 사인, 코사인, 제곱근 버튼을 별도로 가지고, 각 함수는 고유한 규칙과 알고리즘으로 구현된다. 물론 이 함수들이 겹겹이 중복된다는 것은 잘 알려져 있다. $\sin x = \cos(x - \pi/2)$ , $\sqrt{x} = x^{1/2}$ , $\tan x = \sin x / \cos x$ 처럼 서로 환원되며, 오일러 공식 $e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi$ 까지 동원하면 삼각함수도 결국 지수·로그의 변형으로 볼 수 있다. 그러나 "가장 축약된 끝이 어디인가"라는 물음은 체계적으로 추적된 적이 없었다.

2026년 4월 공개된 Andrzej Odrzywołek의 "All elementary functions from a single operator"(arXiv:2603.21852v2)는 이 끝점을 제시한다. 실수 초등함수 전부를 단 하나의 이진 연산자와 단일 상수로 구성할 수 있다는 구성적 증명이다.

EML 연산자의 정의

EML은 Exp-Minus-Log의 약자이며, 다음과 같이 정의된다.

\mathrm{eml}(x, y) = \exp(x) - \ln(y)

생성 기저에는 이 연산자 외에 상수 1 하나만 포함된다. 상수 1이 필요한 이유는 로그 항을 중화하기 위해서이다. $\ln 1 = 0$ 이라는 성질 덕분에 두 번째 인자를 1로 고정하면 EML은 지수 함수로 축퇴한다.

\mathrm{eml}(x, 1) = \exp(x) - \ln 1 = e^x

즉 $e^x$ 는 EML 트리의 깊이 1 표현으로 얻어진다. 계산은 복소수 영역에서 수행된다. $\pi$ 나 $i$ 같은 상수가 표현 도중에 등장하기 때문이다. 예를 들어 $i$ 는 $\ln(-1)$ 이 복소 주분지(principal branch)에서 $i\pi$ 로 평가된다는 점을 이용해 EML 트리로 끌어낼 수 있다.

이 정의만으로는 EML이 쉐퍼 연산자라는 사실이 즉시 드러나지는 않는다. Odrzywołek는 후보 연산자를 체계적으로 나열하고, 각 후보에 대해 초등함수 목록(표 1의 36개 항목)을 반복적으로 재구성할 수 있는지 확인하는 탐색 절차를 설계했다. EML은 이 절차로 발견된 첫 성공 사례이다.

어떻게 모든 초등함수가 복원되는가

탐색 알고리즘은 부트스트랩(bootstrapping) 방식이다. 검증된 기저 $S_i$ 에서 출발해, 기저만으로 표현 가능한 원소를 목표 목록 $C_i$ 에서 꺼내 $S_{i+1}$ 로 옮긴다. $C_i$ 가 비면 증명이 완성된다.

초기 기저 $S_0 = \{1, \mathrm{eml}\}$ , 목표 목록 $C_0 = \{\pi, e, i, -1, \ldots, \exp, \ln, +, -, \times, \ldots\}$ .
현재 기저로 표현 가능한 첫 원소 $e = \mathrm{eml}(1, 1)$ 을 찾아 기저로 이동.
새로 확장된 기저로 다음 원소(예: $\pi$ , $i$ )를 표현. 이 과정을 $C_i = \emptyset$ 이 될 때까지 반복.

이 절차에서 발견된 몇 가지 대표 식을 정리하면 다음과 같다.

$e = \mathrm{eml}(1, 1)$
$e^x = \mathrm{eml}(x, 1)$ — 깊이 1
$\ln z = \mathrm{eml}\bigl(1, \mathrm{eml}(\mathrm{eml}(1, z), 1)\bigr)$ — 깊이 3

로그 식의 내부 구조를 풀어 보면, 가장 안쪽 $\mathrm{eml}(1, z) = e - \ln z$ 가 $\ln z$ 를 상수 $e$ 에 대한 보수 형태로 품고, 그 바깥 적용이 $e^{e - \ln z}$ 를 만들며, 최종 바깥 레이어가 $e - \ln(\cdot)$ 을 다시 씌워 원하는 $\ln z$ 를 분리한다. 로그 하나를 얻기 위해 EML을 세 번 중첩해야 한다는 사실이 흥미로운데, 이는 EML이 지수와 로그를 하나의 식에 섞어 놓았기 때문에 한쪽 항만 남기려면 상쇄용 구조를 쌓아야 하기 때문이다.

사칙연산은 같은 원리로 환원된다. 두 지수 법칙과 그 역을 결합하면 곱셈과 덧셈이 자연스럽게 나온다.

x \times y = e^{\ln x + \ln y}, \qquad x + y = \ln(e^x \cdot e^y)

이 식들은 각각 EML 트리로 다시 풀어쓸 수 있다. 논문에 따르면 직접 탐색으로 얻은 최단 표현은 곱셈이 깊이 8, 대부분의 기본 함수가 그 이상이다. 표현이 간결하지는 않지만 균일하다. 노드가 전부 동일하고 상수와 변수만 잎(leaf)으로 들어간다.

문법과 구조

EML 표현의 문법은 다음 한 줄로 끝난다.

S \to \mathrm{eml}(S, S) \mid 1 \mid x

이 문법은 완전 이진 트리와 일대일 대응된다. 깊이 $n$ 의 완전 이진 트리는 $2^n$ 개의 잎과 $2^n - 1$ 개의 내부 노드를 가지고, 이런 트리의 개수는 카탈랑 수(Catalan number)로 셀 수 있다. 초등함수를 탐색한다는 문제가 카탈랑 구조 위의 탐색 문제로 환원된다는 뜻이다.

이 구조적 균일성은 하드웨어에서 NAND 배열이 갖는 장점과 같다. 노드의 종류가 하나뿐이므로 파서, 컴파일러, 최적화기, 시각화 도구가 모두 단순해진다. 아래와 같은 트리가 $\ln x$ 에 대응한다.

plaintext

같은 방식으로 $-x$ , $x - 1$ , $x \cdot y$ 등이 상이한 깊이와 형태의 동일 노드 트리로 표현된다.

기호 회귀로의 응용

단일 연산자 표현이 가져오는 실질적 이득은 기호 회귀(symbolic regression, SR)에서 드러난다. 기호 회귀는 수치 데이터로부터 닫힌 형태의 수식을 찾는 문제이다. 기존 SR 도구는 이질적인 연산자 집합(덧셈, 곱셈, 삼각함수, 지수, 로그…)을 조합해 탐색하므로, 선택된 연산자 집합이 불완전하면 정답 수식을 표현조차 못 하는 위험이 있다.

EML 트리는 이 문제를 우회한다. 깊이 $n$ 의 매개변수화된 완전 이진 EML 트리는 그 깊이 이하의 모든 초등함수를 표현 가능하도록 설계 단계에서 완전하다. 각 잎은 다음 세 후보 중 하나로 파라미터화된다.

상수: $\alpha_i$
입력 변수 스케일: $\beta_i x$
하위 EML 식: $\gamma_i \cdot \mathrm{eml}(\cdot, \cdot)$

예를 들어 깊이 2의 일변수 마스터 공식은 다음과 같은 모습이 된다.

plaintext

F(x) = eml(
  α1 + β1·x + γ1·eml(α3 + β3·x, α4 + β4·x),
  α2 + β2·x + γ2·eml(α5 + β5·x, α6 + β6·x)
)

이 공식의 자유 매개변수는 14개이다. $\alpha_1 = 0, \beta_1 = 1, \gamma_1 = 0, \alpha_2 = 1$ , 나머지 0으로 두면 $\exp(x)$ 가, $\alpha_1 = \alpha_2 = 1$ , 나머지 0이면 상수 $e$ 가 얻어진다. 매개변수를 심플렉스로 재파라미터화하거나 softmax 로짓으로 처리하면 표준 경사 기반 최적화기(Adam, NMinimize 등)로 학습이 가능하다.

Odrzywołek는 $\ln x$ 로 생성한 수치 데이터를 깊이 3 이진 트리로 적합한 실험을 제시한다. 심플렉스 재파라미터화로 자유도를 34에서 20으로 줄인 뒤, 가중치를 0 또는 1로 스냅하니 **정확히 $\ln x$ **가 복원되었다. 적합 범위 밖으로도 외삽이 거의 완벽했다. 함수 생성법칙이 실제로 초등함수일 때, EML 트리는 근사식이 아니라 닫힌 형태 자체를 뱉어낼 수 있다는 것이다.

EML은 유일하지 않다

EML이 유일한 연속 쉐퍼 연산자는 아니다. 논문은 이미 두 개의 사촌을 제시한다.

$\mathrm{edl}(x, y) = \exp(x) / \ln(y)$ , 필요한 상수는 $e$ .
$\mathrm{eml}(y, x) = \ln(x) - \exp(y)$ , 인자 순서를 바꾼 변형. 필요한 상수는 $-\infty$ .

삼항 연산자 후보도 등장한다. $T(x, y, z) = e^x / \ln x \times \ln z / e^y$ 는 $T(x, x, x) = 1$ 을 만족하므로, 구분되는 상수를 따로 두지 않아도 된다는 특별한 성질을 가진다. 이 방향은 저자가 별도 논문에서 이어 다루기로 예고되어 있다.

다만 EML 계열은 NAND에 비해 한 가지 불편함이 있다. NAND는 단독으로 0과 1을 모두 생성할 수 있지만( $1 \equiv \mathrm{NAND}(x, \mathrm{NAND}(x, x))$ ), EML은 입력과 무관하게 상수를 만들 수 없고 반드시 별도의 상수(1, $e$ , $-\infty$ 등)를 터미널로 준비해야 한다. 상수 없이 작동하는 연속 이진 쉐퍼가 존재하는지는 열린 문제로 남아 있다. 단순한 필요조건 하나조차 함정이 있다. $B(x, y) = (x - y)/2$ 는 $B(x, x) = x$ 를 만족하지만 $B(B(x, x), x) = 0$ 이 되어 정보를 잃는다. 이런 함정 때문에 체계적 탐색이 본질적이다.

정리

EML은 디지털 논리의 NAND에 대응하는 연속수학의 단일 원시 연산자를 처음으로 구체화한 결과이다. $\exp(x) - \ln(y)$ 라는 한 줄의 식이 사칙연산, 초월·대수함수, 필요한 상수 전부를 생성해 낸다. 표현 자체는 길어지지만, 모든 표현이 동일한 노드의 이진 트리라는 구조적 균일성을 얻는다.

이 균일성은 단순한 미적 정리에 그치지 않는다. 완전한 매개변수화 트리를 경사 기반 최적화로 학습시키는 순간, 기호 회귀는 "연산자 집합 선택"이라는 고질적 불완전성을 피해 갈 수 있다. 초등함수를 생성하는 문제, 그리고 데이터에서 초등함수를 역추정하는 문제 모두가 같은 카탈랑 구조 위의 탐색으로 환원된다는 점이 EML이 주는 가장 흥미로운 시사점이다.

참고 문헌

Andrzej Odrzywołek, All elementary functions from a single operator, arXiv:2603.21852v2 [cs.SC], 2026-04-07. https://arxiv.org/abs/2603.21852
Andrzej Odrzywołek, A ternary Sheffer operator for elementary functions?, Acta Physica Polonica B, 2026 (준비 중).